RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS DU 1ER DEGRÉ À UNE INCONNUE

CAS GÉNÉRAL

1. Introduction

• Définition
  Une équation est une expression mathématique qui comporte :
  
  • Un signe "+ ou -
  • Une ou plusieurs "inconnue(s) dont l'exposant est quelconque


• Exemple
  -2x³ + 4y - 8 = x + 3y² - z +1     est une équation à 3 inconnues : x, y et z


• Dénomination
  • -2x³ + 4x - 1 = 0     est une équation du 3^èmedegré à une inconnue, ici x
  • 4a² - 2 = 2a + 8     est une équation du 2^èmedegré à une inconnue, ici a
  • 2x - 4y + 1 = 5x + 6     est une équation du 1^erdegré à deux inconnues, ici x et y


• Résoudre une équation
  Résoudre une équation c’est trouver la ou les valeurs qu’il faut donner à l’inconnue ou aux inconnues pour que l’égalité soit vraie
  
  


• Application
  On considère l’équation 3x – 5 = 2x + 1, complète le tableau suivant Résoudre une équation c’est trouver la ou les valeurs qu’il faut donner à l’inconnue ou aux inconnues pour que l’égalité soit vraie
  
  

2. Technique de résolution d’une équation du premier degré à une inconnue

• Étape 1 : à droite de l’égalité, enlever les termes contenant l’inconnue,
  équilibrer à gauche.
  5x – 2 - 3x = 3x + 6 - 3x
  2x – 2 = 6
  


• Étape 2 : à gauche de l’égalité, enlever les termes ne contenant pas l’inconnue,
  équilibrer à droite.
  2x – 2 + 2 = 6 + 2
  2x = 8
  


• Étape 3 : diviser les deux côtés de l’égalité par le coefficient de l’inconnue
  2x ÷ 2 = 8 ÷ 2
  x = 4
  


• Étape 4 : vérifier la solution trouvée
  Dans l'équation : 5x – 2 = 3x + 6 remplacer x par 4
  À gauche de l'égalité : 5 × 4 - 2 = 20 - 2 = 18
  À droite de l'égalité : 3 × 4 + 6 = 12 + 6 = 18 => c'est vérifié.


• Étape 5 : présenter la solution
  L'équation a pour solution x = 4.

• Étape 0 (lorsqu’elle est possible) simplifier de chaque côté
  5 - 4b + 2 + 2b = 2b + 1 - b
  5 - 2b + 2 = b + 1
  5 - 2b + 2 = b + 1
  7 - 2b = b + 1
  


• Étape 1 : à droite de l’égalité, enlever les termes contenant l’inconnue,
  équilibrer à gauche.
  7 - 2b - b = b + 1 - b
  7 - 3b = 1
  


• Étape 2 : à gauche de l’égalité, enlever les termes ne contenant pas l’inconnue,
  équilibrer à droite.
  7 - 3b - 7 = 1 - 7
  - 3b = - 6
  


• Étape 3 : diviser les deux côtés de l’égalité par le coefficient de l’inconnue
  - b ÷ (-3) = - 6 ÷ (-3)
  b = 2
  


• Étape 4 : vérifier la solution trouvée
  Dans l'équation :5 - 4b + 2 + 2b = 2b + 1 - b remplacer b par 2
  À gauche de l'égalité : 5 - 4 × 2 + 2 + 2 × 2 = 5 - 8 + 2 + 4 = 3
  À droite de l'égalité : 2 × 2 + 1 - 2 = 4 + 1 - 2 = 3 => c'est vérifié.


• Étape 5 : présenter la solution
  L'équation a pour solution b = 2.